{"id":2393,"date":"2026-06-26T04:00:16","date_gmt":"2026-06-26T04:00:16","guid":{"rendered":"https:\/\/helicalcutgears.top\/?p=2393"},"modified":"2026-06-26T04:00:16","modified_gmt":"2026-06-26T04:00:16","slug":"helical-gear-torsional-stiffness-servo-resonance","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/helicalcutgears.top\/pt\/helical-gear-torsional-stiffness-servo-resonance\/","title":{"rendered":"Helical Gear Torsional Stiffness \u2014 How It Affects Servo Bandwidth"},"content":{"rendered":"
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Rigidez torsional de engrenagens helicoidais \u2014 Largura de banda do servo, resson\u00e2ncia e zona morta de folga<\/h1>\n

UM engrenagem helicoidal<\/strong> Um par de dentes n\u00e3o \u00e9 uma conex\u00e3o r\u00edgida de tor\u00e7\u00e3o entre seus eixos de entrada e sa\u00edda \u2014 trata-se de uma mola de tor\u00e7\u00e3o cuja rigidez \u00e9 determinada pela geometria de contato dos dentes e pelo n\u00famero de pares de dentes em contato simultaneamente. Essa rigidez da mola cria uma resson\u00e2ncia mec\u00e2nica entre a in\u00e9rcia do motor e a in\u00e9rcia da carga que, se n\u00e3o for considerada no projeto do servocontrolador, limita a largura de banda alcan\u00e7\u00e1vel e pode causar vibra\u00e7\u00e3o que se manifesta como instabilidade do servo. Compreender e calcular a rigidez torsional de um par de dentes \u00e9 fundamental. engrenagem helicoidal<\/strong> O pareamento \u00e9, portanto, uma etapa essencial em qualquer projeto de servoacionamento de precis\u00e3o.<\/p>\n

Solicite os dados de rigidez do seu equipamento \u2192<\/a><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

Rigidez do Engrenamento \u2014 A Mola de Tor\u00e7\u00e3o no Contato do Dente<\/h2>\n

Quando uma for\u00e7a \u00e9 aplicada a um engrenagem helicoidal<\/strong> dente, ambos os dentes se defletem elasticamente sob a tens\u00e3o de contato Hertziana. A deflex\u00e3o combinada do par de dentes \u2014 a flex\u00e3o do dente de entrada, a flex\u00e3o do dente de sa\u00edda e a deforma\u00e7\u00e3o de contato Hertziana \u2014 cria uma rigidez efetiva c' [N\/(\u00b5m por mm de largura da face)] que caracteriza o engrenamento como uma mola linear por unidade de largura da face. Este valor c' \u00e9 o rigidez do par de dentes<\/em>e \u00e9 a propriedade mec\u00e2nica fundamental que determina o engrenagem helicoidal<\/strong> Caracter\u00edsticas de tor\u00e7\u00e3o do par:<\/p>\n

Rigidez m\u00e9dia do par de dentes (nota\u00e7\u00e3o ISO 6336-1):
\nc'_gamma \u2248 c_th \u00d7 C_M \u00d7 C_R \u00d7 C_B \u00d7 cos \u03b2
\nonde:
\nc_th = rigidez te\u00f3rica de um \u00fanico par \u2248 14\u201320 N\/(\u00b5m\u00b7mm) para um par de engrenagens de a\u00e7o padr\u00e3o
\nC_M = corre\u00e7\u00e3o para a massa do corpo da engrenagem (0,8 para corpo de engrenagem maci\u00e7o)
\nC_R = corre\u00e7\u00e3o para espessura da borda (1,0 para borda padr\u00e3o \u2265 2,5 \u00d7 h_dente)
\nC_B = corre\u00e7\u00e3o para cremalheira b\u00e1sica (1,0 para \u00e2ngulo de press\u00e3o padr\u00e3o de 20\u00b0)
\ncos \u03b2 = corre\u00e7\u00e3o da h\u00e9lice<\/p>\n

Resultado t\u00edpico para engrenagens de a\u00e7o cementado, \u03b2 = 20\u00b0:
\nc'_gamma \u2248 17 \u00d7 0,8 \u00d7 1,0 \u00d7 1,0 \u00d7 cos 20\u00b0 \u2248 12,8 N\/(\u00b5m\u00b7mm)<\/p>\n

Esse valor de rigidez varia periodicamente conforme o engrenagem helicoidal<\/strong> A rigidez da engrenagem gira \u2014 quando dois pares de dentes est\u00e3o em contato simultaneamente, a rigidez total da engrenagem \u00e9 aproximadamente 2 \u00d7 c'_gamma \u00d7 b; quando apenas um par est\u00e1 em contato, ela cai para c'_gamma \u00d7 b. Essa varia\u00e7\u00e3o peri\u00f3dica na rigidez \u2014 na frequ\u00eancia de engrenamento dos dentes (z \u00d7 RPM \/ 60) \u2014 \u00e9 a principal fonte de erro de transmiss\u00e3o e a principal causa de ru\u00eddo e vibra\u00e7\u00e3o da engrenagem.<\/p>\n

Rigidez total da malha e constante el\u00e1stica torsional<\/h2>\n

A rigidez total da malha de um engrenagem helicoidal<\/strong> O par, referido ao eixo de entrada, combina a rigidez por unidade de largura c'_gamma com a largura da face e o n\u00famero m\u00e9dio de pares de dentes em contato (relacionado \u00e0 taxa de contato total \u03b5_\u03b3):<\/p>\n

C_malha \u2248 c'_gama \u00d7 b \u00d7 \u03b5_\u03b3 [N\u00b7m\/\u00b5m, rigidez total da malha]
\nConstante el\u00e1stica de tor\u00e7\u00e3o (referida ao eixo de entrada):
\nC_tor\u00e7\u00e3o = C_malha \u00d7 (d\u2081\/2)\u00b2 [N\u00b7m\/rad]<\/p>\n

Exemplo: M5, z\u2081=24, z\u2082=72, \u03b2=20\u00b0, b=80mm, 20CrMnTi cementado, \u03b5_\u03b3=2,3
\nc'_gamma = 12,8 N\/(\u00b5m\u00b7mm)
\nC_malha = 12,8 \u00d7 80 \u00d7 2,3 = 2.355 N\/\u00b5m = 2.355.000.000 N\/m
\nd\u2081 = 127,8 mm
\nC_tor\u00e7\u00e3o = 2.355.000.000 \u00d7 (0,0639)\u00b2 = 9.615.000 N\u00b7m\/rad \u2248 9,6 \u00d7 10\u2076 N\u00b7m\/rad<\/p>\n

Essa \u00e9 uma rigidez torsional muito alta em compara\u00e7\u00e3o com eixos mec\u00e2nicos (um eixo de a\u00e7o com 50 mm de di\u00e2metro e 200 mm de comprimento tem uma rigidez torsional de aproximadamente 180.000 N\u00b7m\/rad \u2014 50 vezes menor que a de uma engrenagem). engrenagem helicoidal<\/strong> Na maioria das transmiss\u00f5es, o engrenamento \u00e9 o elemento mais r\u00edgido \u2014 a flexibilidade torsional limitante prov\u00e9m dos eixos, acoplamentos e tor\u00e7\u00e3o do rotor, e n\u00e3o dos dentes das engrenagens em si.<\/p>\n

Frequ\u00eancia Natural de Tor\u00e7\u00e3o \u2014 O Modelo de Duas Massas<\/h2>\n

\"Engrenagem<\/p>\n

O engrenagem helicoidal<\/strong> Em um sistema de servoacionamento, a malha atua como uma mola de tor\u00e7\u00e3o C_tors\u00e3o, conectando a in\u00e9rcia do motor J\u2081 \u00e0 in\u00e9rcia da carga J\u2082. A frequ\u00eancia natural de tor\u00e7\u00e3o f_n desse sistema de duas massas deve ser superior \u00e0 largura de banda de controle do servo \u2014 idealmente de 3 a 5 vezes maior \u2014 para evitar a excita\u00e7\u00e3o por resson\u00e2ncia devido aos comandos de torque do servo.<\/p>\n

O modelo mais simples para um servoacionado engrenagem helicoidal<\/strong> O sistema \u00e9 o modelo torsional de duas massas: a in\u00e9rcia do motor J\u2081 est\u00e1 conectada \u00e0 in\u00e9rcia da carga J\u2082 atrav\u00e9s da mola torsional de engrenamento C_torsion. A frequ\u00eancia natural n\u00e3o amortecida deste sistema \u00e9:<\/p>\n

\u03c9_n = \u221a(C_tor\u00e7\u00e3o \u00d7 (1\/J\u2081 + 1\/J\u2082)) [rad\/s]
\nf_n = \u03c9_n \/ (2\u03c0) [Hz]<\/p>\n

Exemplo com a engrenagem acima (C_tor\u00e7\u00e3o = 9,6 \u00d7 10\u2076 N\u00b7m\/rad):
\nIn\u00e9rcia do motor J\u2081 = 0,020 kg\u00b7m\u00b2
\nIn\u00e9rcia da carga J\u2082 = 0,060 kg\u00b7m\u00b2 (refletida para o eixo de entrada atrav\u00e9s de i\u00b2)<\/p>\n

\u03c9_n = \u221a(9,6 \u00d7 10\u2076 \u00d7 (1\/0,020 + 1\/0,060)) = \u221a(9,6 \u00d7 10\u2076 \u00d7 66,7) = \u221a(640 \u00d7 10\u2076) = 25.298 rad\/s
\nf_n = 25.298 \/ (2\u03c0) = 4.028 Hz<\/p>\n

Isso est\u00e1 seguramente acima de qualquer largura de banda de servo (<1.000 Hz para a maioria dos acionamentos de precis\u00e3o) \u2014 a malha de engrenagem
\nA resson\u00e2ncia torsional n\u00e3o \u00e9 um fator limitante para este par de engrenagens compacto.<\/p>\n

\u26a0 Se o par de engrenagens fosse muito maior (J\u2081=0,5, J\u2082=5,0, C_tor\u00e7\u00e3o=9,6\u00d710\u2076):
\n\u03c9_n = \u221a(9,6\u00d710\u2076 \u00d7 (1\/0,5 + 1\/5,0)) = \u221a(9,6\u00d710\u2076 \u00d7 2,2) = 4.596 rad\/s \u2192 f_n = 731 Hz
\nCom uma largura de banda de servo de 300 Hz, a rela\u00e7\u00e3o f_n\/BW = 2,4\u00d7 \u2014 perigosamente pr\u00f3xima da resson\u00e2ncia.<\/p>\n

Regra de separa\u00e7\u00e3o m\u00ednima para servomotores:<\/strong> A frequ\u00eancia natural de tor\u00e7\u00e3o f_n deve ser pelo menos 3 vezes a largura de banda do servocontrolador para fornecer margem de fase adequada. Abaixo dessa rela\u00e7\u00e3o, o ganho do servocontrolador deve ser reduzido para manter a estabilidade \u2014 limitando diretamente a largura de banda do servocontrolador alcan\u00e7\u00e1vel e, portanto, a velocidade e a precis\u00e3o de posicionamento da m\u00e1quina. Se o c\u00e1lculo mostrar f_n\/BW < 3, o projetista do acionamento deve: aumentar C_torsion (m\u00f3dulo maior, largura da face maior, classe de precis\u00e3o mais alta para reduzir a varia\u00e7\u00e3o de rigidez), reduzir a in\u00e9rcia (corpo da engrenagem oco, acoplamento de carga mais leve) ou aumentar o engrenamento (aumentar \u03b5_\u03b3 aumentando \u03b2 ou b).<\/div>\n

Como a classe de precis\u00e3o DIN afeta a varia\u00e7\u00e3o da rigidez torsional<\/h2>\n

A tor\u00e7\u00e3o significar<\/em> rigidez de um engrenagem helicoidal<\/strong> A classe de precis\u00e3o DIN n\u00e3o \u00e9 fortemente afetada \u2014 a \u00e1rea de contato do dente e a deflex\u00e3o s\u00e3o determinadas pelo m\u00f3dulo e pelo material, n\u00e3o pelo acabamento superficial. No entanto, varia\u00e7\u00e3o<\/em> A rigidez da malha em torno da m\u00e9dia (na frequ\u00eancia da malha dos dentes) depende fortemente da classe de precis\u00e3o:<\/p>\n

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Classe de precis\u00e3o DIN<\/th>\nDesvio de perfil ff (\u00b5m) para M5<\/th>\nVaria\u00e7\u00e3o da rigidez na frequ\u00eancia da malha<\/th>\nAmplitude do erro de transmiss\u00e3o (TE)<\/th>\nExcita\u00e7\u00e3o por resson\u00e2ncia<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n
Classe DIN 4\u20135<\/td>\n3\u20135 \u00b5m<\/td>\n\u00b13\u20135% de rigidez m\u00e9dia<\/td>\n2\u20135 \u00b5m<\/td>\nBaixa \u2014 a largura de banda do servo \u00e9 limitada pela din\u00e2mica da m\u00e1quina, n\u00e3o pela resson\u00e2ncia da engrenagem.<\/td>\n<\/tr>\n
Classe DIN 6\u20137<\/td>\n8\u201316 \u00b5m<\/td>\n\u00b18\u201315% de rigidez m\u00e9dia<\/td>\n8\u201318 \u00b5m<\/td>\nModerado \u2014 a resson\u00e2ncia da engrenagem contribui para o erro de posicionamento na frequ\u00eancia de engrenamento.<\/td>\n<\/tr>\n
Classe DIN 8\u20139<\/td>\n18\u201336 \u00b5m<\/td>\n\u00b120\u201335% de rigidez m\u00e9dia<\/td>\n20\u201340 \u00b5m<\/td>\nAlto \u2014 resson\u00e2ncia da engrenagem normalmente vis\u00edvel no espectro de erro de posi\u00e7\u00e3o; limita o ganho do servo.<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n

Recuo e a Zona Morta \u2014 Comportamento Torsional N\u00e3o Linear<\/h2>\n

Ao contr\u00e1rio da flexibilidade do eixo, um engrenagem helicoidal<\/strong> Um par de engrenagens com folga apresenta uma caracter\u00edstica de mola torsional n\u00e3o linear: dentro da zona de folga (\u00b1j\/2 no c\u00edrculo primitivo, onde j \u00e9 a folga total), o engrenamento n\u00e3o transmite torque \u2014 os dentes n\u00e3o est\u00e3o em contato e a rigidez torsional \u00e9 efetivamente zero. Fora da zona de folga, o engrenamento retorna \u00e0 rigidez torsional total C_torsion. Essa n\u00e3o linearidade da \u201czona morta\u201d tem duas consequ\u00eancias importantes para o sistema servo:<\/p>\n